حل عددی و تحلیلی معادله پخشی – جابجایی

بسیاری از پدیده های طبیعی توسط یک سیستم معادلات دیفرانسیل غیر خطی با مشتقات جزئی قابل توصیف هستند که حل تحلیلی آنها سخت و یا غیرممکن است و دلیل این موضوع نبود یک تئوری کلی برای حل کامل این نوع معادلات می باشد. یکی از تکنیک های موثر برای یافتن جواب های دقیق سیستم های دینامیکی ای که با دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات جزئی توصیف شده اند روش تقارن است. از یک سو، می توان با کاهش تقارن معادلات دیفرانسیل کار کرد و بنابراین کلاسی از جواب های دقیق را یافت. از سوی دیگر، با توجه به این که هر تقارن جواب را به جواب می برد، با استفاده از تقارن یک دستگاه معادلات دیفرانسیل با داشتن یک جواب معین می توان به سایر جواب ها دست پیدا کرد. روش تقارن برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ابتدا توسط شخصی به نام سوفوس لی به کار گرفته شد که امروزه این تکنیک را به احترام این دانشمند بزرگ به روش تقارن های لی نام گذاری کرده اند. روش شبکه بولتزمن به عنوان یک روش عددی جدید مبنی بر تئوری جنبشی گازها برای حل مسائل مختلف ریاضی-فیزیک به وجود آمده است. در مقایسه با روش های محاسباتی متداول روشlbm مزیت های بسیاری از قبیل فرمولاسیون جبری مناسب برای محاسبات موازی و سادگی دراعمال شرایط مرزی پیچیده را دارد. به طور کلی lbm یک گسسته سازی لاگرانژی از معادله بولتزمن با سرعت گسسته می باشد. هدف از این پایان نامه بررسی تقارن های معادله (1+2) و (1+3) بعدی معادله پخشی- جابجایی و حل معادله برگرز دو بعدی که حالت خاص معادله مذکور است، به روش لی می باشد. با استفاده از این روش دستگاه های های بهینه از زیر جبرهای یک و دو بعدی از جبر تقارن لی ساخته می شود. که تقارن منجر به کاهش معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادلات دیفرانسیل معمولی می شود. به کمک این روش معادله برگرز غیرخطی به معادله دیفرانسیل مرتبه دو تبدیل می شود. گروه تقارن این امکان را می دهد تا با کاهش مرتبه معادله و با انتگرال گیری جواب معادله مورد نظر بدست آید. همچنین حل معادله برگرز دو بعدی به روش عددی شبکه بولتزمن ارائه شده است.